Question

15．若$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$，则在${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有15项．

Answer 1

分析 根据定积分求得a的值，利用二项式定理，求得其通项公式，T_k+1=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，分别代入，当k=6，k=12，k=18，x幂指数是整数，则x的幂指数不是整数的项15项．

解答 解：$a=2\int_{-3}^3{（{x+|x|}）dx}$=2（${∫}_{-3}^{3}$xdx+${∫}_{-3}^{3}$丨x丨dx）=4${∫}_{0}^{3}$xdx=18，
${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^a}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）¹⁸，则T_k+1=${C}_{18}^{k}$（$\sqrt{x}$）^18-k（$\frac{1}{\root{3}{x}}$）^k，
=${C}_{18}^{k}$${x}^{\frac{54-5k}{6}}$，0≤k≤18，
则当k=0，k=6，k=12，k=18，x幂指数是整数，
∴x的幂指数不是整数的项共19-4=15，
故答案为：15．

点评 本题考查定积分的运算，考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．