Question

20．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱AA₁，B₁C₁，C₁D₁，DD₁的中点，则GH与平面EFH所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 C₁H，过G作GM⊥C₁H于M，则∠GHC₁即为GH与平面EFH所成的角，在△C₁GH利用余弦定理求出cos∠GHC₁．

解答 解：连结EB₁，C₁H，则平面EFH即为平面EHC₁B₁，
过G作GM⊥C₁H于M，则MG⊥平面EFH，
∴∠GHC₁即为GH与平面EFH所成的角，
设正方体棱长为2，则C₁G=1，GH=$\sqrt{2}$，C₁H=$\sqrt{5}$，
∴cos∠GHC₁=$\frac{G{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}-{C}_{1}{G}^{2}}{2GH•{C}_{1}H}$=$\frac{2+5-1}{2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了直线与平面所成角的求解，属于中档题．