Question

10．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{3x+y}$+$\frac{2}{x+2y}$=2，则x+y的最小值是$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，且$\frac{1}{3x+y}$+$\frac{2}{x+2y}$=2，x+y=$\frac{1}{5}$（3x+y）+$\frac{2}{5}$（x+2y）=$\frac{1}{10}$[（3x+y）+（2x+4y）]$（\frac{1}{3x+y}+\frac{2}{x+2y}）$，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{3x+y}$+$\frac{2}{x+2y}$=2，
则x+y=$\frac{1}{5}$（3x+y）+$\frac{2}{5}$（x+2y）=$\frac{1}{10}$[（3x+y）+（2x+4y）]$（\frac{1}{3x+y}+\frac{2}{x+2y}）$=$\frac{1}{10}$$（5+\frac{2x+4y}{3x+y}+\frac{2（3x+y）}{x+2y}）$
≥$\frac{1}{10}$$（5+2×2\sqrt{\frac{x+2y}{3x+y}×\frac{3x+y}{x+2y}}）$=$\frac{9}{10}$，当且仅当y=2x=$\frac{3}{5}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．