Question

12．已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=0时函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．

解答 解：（1）若a=0时，f（x）=x²-lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2-1=1，切点为（1，1），
则有切线方程为y-1=x-1，即为x-y=0；
（2）∵函数f（x）在[1，2]内是减函数，
∴f'（x）=$\frac{2a{x}^{2}+ax-1}{x}$≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（2）≤0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≤-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴a≤-$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．