Question

9．设全集为实数集R，函数f（x）=lg（2x-1）的定义域为A，集合B={x||x|-a≤0}（a∈R）
（Ⅰ）若a=2，求A∪B和A∩B
（Ⅱ）若∁_RA∪B=∁_RA，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出A=（$\frac{1}{2}，+∞$），由a=2便可求出B=[-2，2]，然后进行并集、交集的运算即可；
（Ⅱ）根据条件便有B⊆C_RA，可求出${C}_{R}A=（-∞，\frac{1}{2}]$，可讨论B是否为空集：B=∅时会得到a＜0；而B≠∅时得到a≥0，且B={x|-a≤x≤a}，这样便可得到$0≤a≤\frac{1}{2}$，这两种情况下得到的a的范围求并集便可得出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）A=$（\frac{1}{2}，+∞）$；
a=2时，B=[-2，2]；
∴A∪B=[-2，+∞），$A∩B=（\frac{1}{2}，2]$；
（Ⅱ）∵（C_RA）∪B=C_RA；
∴B⊆C_RA；
${C}_{R}A=（-∞，\frac{1}{2}]$；
①当B=∅时，a＜0；
②当B≠∅时，B={x|-a≤x≤a}（a≥0）；
∴$a≤\frac{1}{2}$，且a≥0；
∴$0≤a≤\frac{1}{2}$；
综上得，a的取值范围为$（-∞，\frac{1}{2}]$．

点评 考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，绝对值不等式的解法，交集、并集的运算，以及子集、补集的概念，不要漏了B=∅的情况．