Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+cos²xcos φ-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再根据f（x）过定点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得φ的值．
（2）利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．
（3）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得函数g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+cos²xcos φ-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）
=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+$\frac{1+cos2x}{2}•cosφ$-$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{2}$sin 2xsin φ+$\frac{1}{2}$cos2xcos φ
=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ） （0＜φ＜π），
又因为函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-φ），
即cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（{k∈Z}）$．
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\frac{1}{2}$cos（4x-$\frac{π}{3}$）的图象，
在[0，$\frac{π}{4}$]上，4x∈[0，π]，因此$4x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，故$-\frac{1}{2}≤cos（{2x-\frac{π}{3}}）≤1$，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分别为1和-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．