Question

在三棱锥P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，且∠BPC=α，∠APC=β，∠APB=γ．
（1）A到面PBC的距离；
（2）四面体P-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）作AH⊥平面ABC，垂足为H，作HN⊥PB，HM⊥PC，连接AN，AM，则AN⊥PB．AM⊥PC，求出PM，PN，MN，可得PH，即可求出A到面PBC的距离；
（2）利用三棱锥的体积公式，可求四面体P-ABC的体积．

解答： 解：（1）作AH⊥平面ABC，垂足为H，作HN⊥PB，HM⊥PC，连接AN，AM，则AN⊥PB．AM⊥PC，
∵PA=a，∠APC=β，∠APB=γ．
∴PM=acosβ，PN=acosγ，
∴MN=

a2cos2β+a2cos2γ-2a2cosαcosβcosγ

，
∴PH=

1

sinα

a2cos2β+a2cos2γ-2a2cosαcosβcosγ

，
∴AH=

a

sinα

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

；
（2）四面体P-ABC的体积=

1

3

×

1

2

bcsinα×

a

sinα

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

=

1

6

abc

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

．

点评：本题考查三棱锥的体积，考查A到面PBC的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．