Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在有两个零点，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）首先求出函数的导函数因式分解为，再对参数分类讨论可得；

（2）依题意可得，当函数在定义域上单调递增，不满足条件；

当时，由（1）得在为增函数，因为，.再对，，三种情况讨论可得.

解：（1）因为，所以，

即.

由，得，.

①当时，，当且仅当时，等号成立.

故在为增函数.

②当时，，

由得或，由得；

所以在，为增函数，在为减函数.

③当时，，

由得或，由得；

所以在，为增函数，在为减函数.

综上，当时，在为增函数；

当时，在，为增函数，在为减函数；

当时，在，为增函数，在为减函数.

（2）因为，所以，

①当时，，在为增函数，所以在至多一个零点.

②当时，由（1）得在为增函数.

因为，.

（ⅰ）当时，，时，，时，；

所以在为减函数，在为增函数，.

故在有且只有一个零点.

（ⅱ）当时，，，，使得，

且在为减函数，在为增函数.

所以，又，

根据零点存在性定理，在有且只有一个零点.

又在上有且只有一个零点0.

故当时，在有两个零点.

（ⅲ）当时，，，，使得，

且在为减函数，在为增函数.

因为在有且只有一个零点0，

若在有两个零点，则在有且只有一个零点.

又，所以即，所以，

即当时在有两个零点.

综上，m的取值范围为