Question

19．若双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（3，0），过F点的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为P（-3，-6），则E的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$$-\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由题意可得直线l的斜率为k=k_PF=$\frac{0+6}{3+3}$=1，
可得直线l的方程为y=x-3，
代入双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得（b²-a²）x²+6a²x-9a²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由AB的中点为P，可得$\frac{6{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=-6，
即有b²=2a²，
又a²+b²=c²=9，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．