Question

14．已知函数f（x）=|x+2|+|x-m|．
（1）当m=6时，解不等式f（x）≥12；
（2）已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$，若对于?a，b∈R^*，?x₀使f（x₀）≤ab成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式；
（2）求出ab≥2，f（x）_min，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）当m=6时，|x+2|+|x-6|≥12，
x＜-2时，不等式化为-x-2-x+6≥12，∴x≤-4，此时x≤-4；
-2＜x＜6时，不等式化为x+2-x+6≥12，无解；
x≥6时，不等式化为x+2+x-6≥12，∴x≥8，此时x≥8；
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-4或x≥8}；
（2）a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，∴ab≥2（当且仅当a=b时取等号），
∵对于?a，b∈R^*，?x₀使f（x₀）≤ab成立，
∴|2+m|≤2，
∴-4≤m≤0．

点评 本题考查不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．