Question

设函数f（x）=|x-a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，

1

m

+

1

2n

=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；
对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）”，展开后利用基本不等式可完成证明．

解答： 解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4-|x-1|即为|x-2|≥4-|x-1|，
①当x≤1时，原不等式化为2-x≥4+（x-1），得x≤-

1

2

，
故x≤-

1

2

；
②当1＜x＜2时，原不等式化为2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得x≥

7

2

，
故x≥

7

2

．
综合①、②、③知，原不等式的解集为(-∞，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴

-1+a=0 1+a=2

得a=1，∴

1

m

+

1

2n

=a=1．
又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+（

2n

m

+

m

2n

）≥2+2

2n m • m 2n

=4，
当且仅当

2n

m

=

m

2n

即m=2n时，等号成立，此时，联立

1

m

+

1

2n

=1，得

m=2 n=1

时，m+2n=4，
故m+2n≥4，得证．

点评：1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．
2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．