Question

已知过点A（1，0）的动直线依次交抛物线x²=2y、直线y=x于点B、C、D，求证：

AB

AD

=

CB

CD

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别过B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为B₁（x₁，0），C₁（x₂，0），D₁（x₃，0），则

AB

AD

=

CB

CD

等价于

1-x1

1-x3

=

x1-x2

x2-x3

，设过点A的动直线方程为y=k（x-1），联立抛物线方程及y=x，可用k表示交点的横坐标x₁，x₂，x₃，化简即可得证．

解答： 证明：分别过B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为B₁（x₁，0），C₁（x₂，0），D₁（x₃，0），
如右图所示．
依题意，设过点A的动直线方程为y=k（x-1），显然k≠0，
由

x2=2y y=k(x-1)

，消去y，得x²-2kx+2k=0，
解得x₁=k+

k2-2k

，x3=k-

k2-2k

．
由于直线y=k（x-1）与直线y=x相交，故k≠1，联立此两方程得x2=

k

1-k

．
易知BB₁∥CC₁∥DD₁，所以

AB

AD

=

1-k- k2-2k

1-k+ k2-2k

，

CB

CD

=

k+ k2-2k - k k-1

k k-1 -(k- k2-2k )

=

k2-2k+(k-1) k2-2k

(k-1) k2-2k -(k2-2k)

=

k2-2k ( k2-2k +k-1)

k2-2k (k-1- k2-2k )

=

1-k- k2-2k

1-k+ k2-2k

．
故

AB

AD

=

CB

CD

，得证．

点评：本题考查了直线与抛物线的交点问题及比例的性质，关键是将线段之比转化为交点横坐标的差之比．