Question

已知函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的图象经过点（1，n²），n=1，2，…，数列{a_n}为等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n为奇数时，设g(x)=

1

2

[f(x)-f(-x)]，是否存在自然数m和M，使得不等式m＜g(

1

2

)＜M恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件中所给的函数式，给变量赋值得到数列前n项和与n之间的关系，给n赋值，得到含有数列前3的方程组，解方程组得到数列的前几项，得到首项和公差，写出通项．
（2）给函数式赋值，得到要用的函数值，而函数值是通过数列的和表示的，用到错位相减法来求数列的和，根据函数的单调性得到函数的值域，写出变量的取值，得到结果．

解答：解：（I）由题意得f（1）=n²，即a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²
令n=1，则a₀+a₁=1，
令n=2则a₀+a₁+a₂=2²，
a₂=4-（a₀+a₁）=3
令n=3则a₀+a₁+a₂+a₃=3²
a₃=9-（a₀+a₁+a₂）=5
设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₃-a₂=2，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ
n为奇数时，f（-x）=-a₁x+a₂x²-a₃x³+…-a_nxⁿ
∴g（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）=a₁x+a₃x³+a₅x⁵…+a_nxⁿ
g（

1

2

）=1×

1

2

+5×(

1

2

)3+9×(

1

2

)5+…+(2n-1)×(

1

2

)n①

1

4

g(

1

2

)=1× (

1

2

)3 +5×(

1

2

)5+…+(2n-1)×(

1

2

)n+2②
由①-②得：

3

4

×g(

1

2

)=4

1 2 (1- 1 2n+1 )

1- 1 4

-（2n-1）×(

1

2

)n+2-

3

2

∴g（

1

2

）=

14

9

-

13

9

× (

1

2

)n-

2n

3

(

1

2

)n＜

14

9

设cn=

2n

3

(

1

2

)n
∵cn+1-cn=

1

3

(1-n)×(

1

2

)n≤0
∴c_n随n的增大而减小，又

13

9

×(

1

2

)n随n的增大而减小
∴g（

1

2

）为n的增函数，
当n=1时，g（

1

2

）=

1

2

而g（

1

2

）＜

14

9

∴

1

2

≤g(

1

2

)＜

14

9

易知：使m＜g(

1

2

)＜M恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，
∴M-m的最小值为2．

点评：数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．