Question

17．如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA）}$等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$带入$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案．

解答 解：由已知条件知，AB=$\sqrt{2}$，∠OAB=45°；
又$\overrightarrow{CP}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$（\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CP}）•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$=$-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为0，向量数量积的运算及计算公式．