Question

已知椭圆C₁的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C₂的顶点在原点、焦点在x轴上．小明从曲线C₁、C₂上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C₁上，也不在抛物线C₂上，小明的记录如下：

x	-2	- 2	0	2	2 2	3
y	2	0	6	-2 2	2	-2 3

据此，可推断抛物线C₂的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知：点（0，

6

）是椭圆C₁的短轴的一个端点，再假设抛物线C₂的方程为y²=2px或y²=-2px验证即可．

解答： 解：由题意可知：点（0，

6

）是椭圆C₁的短轴的一个端点，则C₁可以写成

x2

a2

+

y2

6

=1，经验证可得：若点（2

2

，

2

）在C₁上，代入求得a²=12，即

x2

12

+

y2

16

=1，剩下的4个点中（-2，2）也在此椭圆上．
假设抛物线C₂的方程为y²=2px，把点（2，-2

2

）代入求得p=2，∴y²=4x，则点（3，-2

3

），则只剩下一个点（-

2

，0）既不在椭圆上，也不在抛物线上，满足条件．
假设抛物线C₂的方程为y²=-2px，经验证不符合题意．
故答案为：y²=4x．

点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．