Question

已知命题p：x₁、x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-2a≥|x₁-x₂|对?m∈[0，1]恒成立，若p为真命题，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用韦达定理可求得|x₁-x₂|_max=3，从而解关于参数a的不等式即可得出a的取值范围．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-2，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

，
∴当m∈[0，1]时，|x₁-x₂|_max=3．
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[0，1]恒成立，
可得：a²-2a≥3；
解得：a≥3或a≤-1；
∴命题p为真命题时，实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及恒成立问题，求得|x₁-x₂|_max=3是关键，也是难点，属于中档题