Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）试猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，由a₁=2，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通过（1）可猜想a_n，用数学归纳法证明即可：先证当n=1时结论成立，再假设假设n=k时，结论成立，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n=2-

1

an-1

，可得a₂=

3

2

，a₃=

4

3

，同理可得a₄=

5

4

…（3分）
（2）猜想a_n=

n+1

n

（n=1，2，3，…）…（6分）
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即a_k=

k+1

k

，
那么当n=k+1时，a_k+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

(k+1)+1

k+1

，
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，a_n=

n+1

n

对一切自然数n都成立．…（13分）

点评：本题考查数列的递推式，考查归纳猜想，着重考查数学归纳法，考查推理与证明，属于难题．