Question

11．如图，等腰梯形ABCD，BC=$\frac{1}{2}$AD，将直径为4的半圆内的阴影部分以直径AD所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．

Answer 1

分析 几何体为球体减去两个圆锥和一个圆柱后剩余的部分，使用作差法求出体积．

解答 解：连结OB，OC，∵BC=$\frac{1}{2}$AB=OB=OC=2，CD=AB
∴△OBC，△OCD，△OAB是等边三角形，
过C作CM⊥AD，则CM=$\sqrt{3}$，DM=1，
∴阴影部分绕AD旋转一周所得几何体为球体减去两个圆锥和一个圆柱后剩余部分．
圆柱和圆锥的底面半径为CM=$\sqrt{3}$，圆柱的高为BC=2，圆锥的高为DM=1．
球的半径为$\frac{1}{2}$AB=2．
∴几何体体积V=V_球-2V_圆锥-V_圆柱=$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$-2×$\frac{1}{3}π×3×1$-π×3×2=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于中档题．