Question

19．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为$\frac{1}{2}$，设AB=x，AD=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义、三角形面积的不同计算方法，即得结论；
（2）通过外角性质及等量代换可得∠CPD=∠BAP，利用△ABP～△PCD可得AB的值，进而可得结论；
（3）取AD的中点F，连结PF，过P作PH⊥AD，通过PF≥PH，利用直角三角形斜边上中线的性质及三角形面积计算公式即得结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠E=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•y•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$；
（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，
∴∠CPD=∠BAP，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP～△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{DC}$，
∴PB•PC=AB•DC=AB²，
当y=1时，x=$\sqrt{2}$，即AB=$\sqrt{2}$，
则PB•PC=$（\sqrt{2}）^{2}$=2；
（3）如图2，取AD的中点F，连结PF，
过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
当PF=PH时，PF有最小值，
又∵∠APD=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$y，
∴PH=$\frac{1}{2}$y，
∵S_△APD=$\frac{1}{2}$•AD•PH=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•y•$\frac{1}{2}$•y≥$\frac{1}{2}$，即y²≥2，
∵y＞0，
∴当取“=”时，y取最小值$\sqrt{2}$，
则y的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题是一道相似型的综合题，涉及到等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判断与性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．