Question

18．已知函数f（x）=-x³+x²+16x+a
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[-4，0]上的最大值为120，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；
（2）根据函数的单调性得到函数在[-4，0]的最大值是f（-4）=16+a=120，求出a的值，从而求出最小值f（-2）的值即可．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+2x+16=（-3x+8）（x+2），
令f′（x）＜0，解得：x＜-2或x＞$\frac{8}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-2），（$\frac{8}{3}$，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[-4，-2）递减，在（-2，0]递增，
∴f（x）的最大值是f（-4）或f（0），
而f（-4）=16+a，f（0）=a，
∴f（-4）=16+a最大，
此时：16+a=120，解得：a=114，
∴f（x）_min=f（-2）=94．

点评 本题考查了求函数的单调区间、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．