Question

19．若函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）=lnx-ax＜0在（0，+∞）恒成立，求出f′（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函数f（x）在定义域上单调递减，
则f′（x）=lnx-ax＜0在（0，+∞）恒成立，
显然a＞0，
f″（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
令f″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
令f″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f′（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
∴f′（x）_max=f′（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1＜0，
解得：a＞$\frac{1}{e}$，
故答案为：a＞$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．