Question

数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀的值为（　　）

• A、-4
• B、-1
• C、8
• D、5

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，每三项一组，分别让n取3的倍数，即可得到结论．

解答： 解：∵a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴每三项一组可得
∴当n=18，a₁₈+a₁₉+a₂₀=cos

2×18π

3

=cos12π=1
当n=15，a₁₅+a₁₆+a₁₇=cos10π=1
当n=12，a₁₂+a₁₃+a₁₄=cos8π=1
…

当n=3，a₃+a₄+a₅=cos2π=1，
则S₂₀=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₁₈+a₁₉+a₂₀）=6×1+1+1=8，
故选：C

点评：本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．