Question

7．函数$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}+cx+d\;\;（{a＞0}）$，且方程f'（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（1）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；
（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式；
（2）函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．

解答 解：f′（x）=ax²+2bx+c    …（1分）
因为f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+c-9=0}\\{16a+8b+c-36=0}\end{array}\right.$   （*）   （或：$\left\{\begin{array}{l}1+4=\frac{9-2b}{a}\\ 1×4=\frac{c}{a}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a\\ c=4a\end{array}\right.$）…（3分）
（1）当a=3时，由（*）式得$\left\{\begin{array}{l}{2b+c-6=0}\\{8b+c+12=0}\end{array}\right.$，解得：b=-3，c=12（或：$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a=-6\\ c=4a=12\end{array}\right.$）
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0 故f（x）=x³-3x²+12．…（6分）
（2）由于a＞0，所以“f（x）在R上单调”等价于“f'（x）=ax²+2bx+c≥0在R上恒成立”．
只需△=（2b）²-4ac≤0…（8分）
由（*）得$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a\\ c=4a\end{array}\right.$代入整理得，a²-10a+9≤0，…（11分）
解得1≤a≤9．…（12分）

点评 本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属中档题．