Question

设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8,其中a∈R.

(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;

(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.

Answer 1

分析：(1)f(x)在x=3处取得极值,则f′(3)=0,可求a的值.(2)f(x)在(-∞,0)上为增函数,需f′(x)在(-∞,0)上非负,可求a的取值范围.

解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).

    因f(x)在x=3处取得极值,

    所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得a=3.

    经检验知a=3时,x=3为f(x)的极值点.

(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x₁=a,x₂=1.

    当a＜1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)＞0,

    所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数.

    故当0≤a＜1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

    当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)＞0,

    所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.

    从而f(x)在(-∞,0]上也是增函数.

    综上可知,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.