已知数列满足.(Ⅰ)证明数列是等差数列,(Ⅱ)求数列的通项公式,(Ⅲ)设.求数列的前项和. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（本题满分12分）已知数列满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.

解析试题分析：
解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，
∴数列是公差为1的等差数列.         4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴. .       7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
所以，
，
相减得，
∴. .   .    .     .          12分
考点：本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.
点评：

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已知数列的前项和为，满足，
（1）令，证明：；
（2）求数列的通项公式。

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杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35。显然，1+3+6+10+15=35。事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数。试用含有m、k的数学公式表示上述结论，并给予证明。