Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=

π

2

，∠BAC=∠CAD=

π

3

，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，CD=2

3

．
（1）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA=CA，从而AF⊥PC，由线面垂直得PA⊥CD，又AC⊥CD，从而CD⊥PC，由三角形中位线性质得EF∥CD，从而EF⊥PC，进而PC⊥平面AEF，由此能证明平面PAC⊥平面AEF．
（2）过E作EF⊥平面ABCD，交AD于E，过F作FO⊥AC，交AC于点O，连结EO，由三垂线定理得∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，由正弦定理，得∠ADC=30°，从而∠ACD=90°，由此能求出二面角E-AC-D的大小．

解答： （1）证明：∵∠ABC=

π

2

，∠BAC=∠CAD=

π

3

，PA=2AB=2，
∴AC=2，∴PA=CA，又F为PC的中点，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC，
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF，
又PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面AEF．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，
∴过E作EF⊥平面ABCD，交AD于E，EF=

1

2

PA=1，
过F作FO⊥AC，交AC于点O，连结EO，
由三垂线定理得∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，
∵∠CAD=

π

3

，AC=2，CD=2

3

，
∴由正弦定理，得

2

sin∠ADC

=

2 3

sin60°

，
∴sin∠ADC=

2sin60°

2 3

=

1

2

，∴∠ADC=30°，∴∠ACD=90°，
∴OF=

1

2

CD=

3

，
∴tan∠EOF=

EF

OF

=

1

3

=

3

3

，
∴∠EOF=30°，
∴二面角E-AC-D的大小为30°．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，涉及到线面垂直、二面角、点到平面距离、线面角、三角形中位线、三垂线定理、正弦定理等知识点，解题时要注意空间思维能力的培养．