Question

如图，已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接AC并延长使AC=CP，连接PB并延长交圆O于点D，过点P作圆O的切线，切点为E．
（1）证明：AB•DP=EP²；
（2）若AB=2

5

，EP=4

2

，求BC的长度．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）连结BC，由已知得∠BCA=90°，AB=BP，由此利用切割线定理能证明AB•DP=EP²．
（2）由切割线定理得AP•CP=EP²，从而AC=4，由此能求出BC=2．

解答： （1）证明：连结BC，
∵AB为圆O的直径，∴∠BCA=90°，
∵AC=CP，∴AB=BP，
∵EP是圆O的切线，PBD是圆O的割线，
∴BP•DP=EP²，
∴AB•DP=EP²．
（2）解：∵EP是圆O的切线，PCA是圆O的割线，
∴AP•CP=EP²，
∵AC=CP，∴2AC•AC=EP²=32，解得AC=4，
∵AB=2

5

，EP=4

2

，
∴BC²=AB²-AC²=20-16=4，
解得BC=2．

点评：本题考查AB•DP=EP²的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用，是中档题．