Question

14．已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（2-x），且函数y=f（x）在区间[0，1]内有且只有一个零点$\frac{1}{2}$，则y=f（x）在区间[0，2 016]上的零点的个数为（　　）

• A． 2 012
• B． 1 006
• C． 2 016
• D． 1 007

Answer 1

分析 判断出f（x）的周期为2，且关于x=1对称，于是f（x）在一个周期内有2个零点，利用周期求出[0，2016]上的零点个数．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数．
∵f（x）=f（2-x），∴f（1+x）=f（1-x），∴f（x）关于直线x=1对称，
∵f（x）在[0，1]上只有一个零点$\frac{1}{2}$，∴f（x）在[1，2]上只有一个零点$\frac{3}{2}$，
即f（x）在周期[0，2]上只有2个零点$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在[0，2016]上共有2×$\frac{2016}{2}$=2016个零点．
故选C．

点评 本题考查了函数的周期性与对称性的应用，属于中档题．