Question

19．设f（x）=cosx+（π-x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=cosx+（π-x）sinx=0得（x-π）sinx=cosx，
当x=π时，方程等价为0=-1，方程不成立，
当x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时，方程等价为±$\frac{π}{2}$=0，此时方程不成立，
则方程等价为tanx=$\frac{1}{x-π}$，
作出函数y=tanx，y=$\frac{1}{x-π}$，在x∈[0，2π]上的图象，
则两个图象有两个交点，
则两个点关于点（π，0）对称，
设两个交点的横坐标为x₁，x₂，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=π$，即x₁+x₂=2π，
即函数f（x）所有的零点之和为2π，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．