Question

8．已知函数f（x）=（ax²+x-1）•e^x（x∈R），f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（-3）=0．
（1）求实数a的值；
（2）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由f′（-3）=0，可得a=1；
（2）求出f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率及切点坐标，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（ax²+x-1）•e^x，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x]e^x，
由f′（-3）=（3a-3）e^-3=0，
解得a=1；
（2）由（1）可知，f（x）=（x²+x-1）•e^x，
f′（x）=（x²+3x）e^x，
可得f（1）=e，f′（1）=4e，
即有曲线f（x）在（1，f（1））处的切线的方程为y-e=4e（x-1），
即为4ex-y-3e=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．