Question

10．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．
（I）求A角的大小；
（II）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求a的值．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式、倍角公式即可得出．
（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（I）由cos2A-3cos（B+C）=1，可得：2cos²A+3cosA-2=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，或cosA=-2（舍去）．
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，化为：bc=20，又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a²=5²+4²-2×5×4cosA=21，
故a=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了诱导公式、倍角公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．