Question

11．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称；（3）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，得出结论．

解答 解：不妨设：f（x）=sin（ωx+φ），
∵最小正周期为π，可得：T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=2，
∵图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴可得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，当k=0时，可得：φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤，kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
可得其单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
当k=0时，满足（3）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数，
则y=f（x）的解析式可以是f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
故答案为：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

点评 本题主要考查三角函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，属于基础题．