Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边．
（Ⅰ）若c=$\sqrt{3}$asinC-c cosA，求角A
（Ⅱ）证明：$\frac{cos2A}{a^2}$-$\frac{cos2B}{b^2}$=$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过c=$\sqrt{3}$asinC-c cosA，以及正弦定理，结合两角和与差的正弦函数，化简求解角A．
（Ⅱ）利用二倍角公式化简$\frac{cos2A}{a^2}$-$\frac{cos2B}{b^2}$，结合正弦定理推出结果为：$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$即可．

解答 解：（Ⅰ）由$c=\sqrt{3}asinC-ccosA$及正弦定理得：
sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，由于C是三角形的内角，sinC≠0，所以，
1=$\sqrt{3}$sinA-cosA，
可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，故A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）证明：$\frac{cos2A}{a^2}$-$\frac{cos2B}{b^2}$═$\frac{1-2si{n}^{2}A}{{a}^{2}}-\frac{1-2si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$-2（$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}-\frac{si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$）
由正弦定理得：$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}=\frac{si{n}^{2}B}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{cos2A}{a^2}$-$\frac{cos2B}{b^2}$=$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，三角函数化简求值，恒等式的证明，考查计算能力．