Question

设函数f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）内不单调，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞

  2

  3

• B、0＜a＜

  2

  3

• C、0＜a＜

  1

  2

• D、

  2

  3

  ＜a＜1

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：函数f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）内不单调?函数f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）内存在极值?f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax²-2x=0在（0，3）内有解．即可得出a的取值范围．

解答： 解：f′（x）=ax²-2x．（a＞0）．
∵函数f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）内不单调，
∴函数f（x）=

1

3

ax³-x²（a＞0）在（0，3）内存在极值，
∴f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax²-2x=0在（0，3）内有解．
∵x≠0，∴可化为ax-2=0，∴a=

2

x

，
∵x∈（0，3），∴

2

x

＞

2

3

，即a＞

2

3

．
∴实数a的取值范围是a＞

2

3

．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．