Question

过函数y=x 

1

2

（0＜x＜1）图象上一点M作切线l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点坐标，求出在切点处的导数，写出切线方程，分别取x=0和y=1求出切线和y轴及直线y=1的交点坐标，根据切点横坐标的范围求出△PQN面积的表达式，然后利用导数求最值．

解答： 解：设切点为（x₀，y₀），由y′=

1

2 x

，得y′|x=x0=

1

2 x0

．
∴切线方程为y-

x0

=

1

2 x0

(x-x0)．
取x=0，得y=

x0

2

，取y=1，得x=2

x0

-x₀．
∴S△PQN=

1

2

|

x0

2

-1|•|2

x0

-x0|．
∵0＜x₀＜1，
∴S△PQN=

1

2

(1-

x0

2

)(2

x0

-x0)=

4 x0 -4x0+x0 x0

4

．
S′=

2 x0 -4+ 3 2 x0

4

=

4-8 x0 +3x0

8 x0

．
令S′=0，得4-8

x0

+3x0=0．
解得：

x0

=

2

3

或

x0

=2．
∵0＜x₀＜1，∴x0=

4

9

．
∴当0＜x0＜

4

9

时，S′＞0，函数S（x₀）为增函数，
当

4

9

＜x0＜1时，S′＜0，函数S（x₀）为减函数，
∴x0=

4

9

时，S取得最大值，为

8 3 - 16 9 + 8 27

4

=

8

27

．
故答案为：

8

27

．

点评：本题考查了利用导数研究函数在曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，是中高档题．