Question

2．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥E-AFD的体积；
（3）求四面体ABCD外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得AB∥EF，故而AB∥平面DEF；
（2）由直二面角可得BD⊥平面ACD，于是V_E-AFD=V_F-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•\frac{1}{2}BD$；
（3）根据三棱锥的三个侧面两两垂直的性质可求得外接球的半径，从而计算出球的表面积．

解答 解：（1）∵E、F分别是AC和BC边的中点，
∴EF∥AB，又EF?平面DEF，AB?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）∵CD是正三角形ABC的高，∴AD=BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∵二面角A-DC-B是直二面角，
∴BD⊥平面ACD．
∵E，F是AC，BC的中点，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
F到平面ACD的距离等于$\frac{1}{2}BD$=1．
∴V_E-AFD=V_F-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）设外接球的球心为O，
∵△BCD是直角三角形，∴O在底面BCD上的投影为BC的中点F，连结OF，
则OF⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，
∴AD∥OF，
∵球O是三棱锥A-BCD的外接球，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=1．
∴球O的半径OB=$\sqrt{B{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴球O的表面积S=4πOB²=20π．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，棱锥与外接球的关系，属于中档题．