Question

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求证：BD₁⊥面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）由AA₁∥BB₁可得∠C₁BB₁为异面直线BC₁与AA₁所成的角；
（2）以A₁B₁C₁为棱锥底面，则BB₁为棱锥的高，代入体积公式计算即可；
（3）通过证明AB₁⊥平面A₁BD₁得出AB₁⊥BD₁，B₁C⊥平面BC₁D₁得出B₁C⊥BD₁，从而BD₁⊥面AB₁C．

解答 证明：（1）∵AA₁∥BB₁，
∴∠C₁BB₁为异面直线BC₁与AA₁所成的角．
∵BB₁=B₁C₁，∠BB₁C₁=90°，
∴∠C₁BB₁=45°．即异面直线BC₁与AA₁所成的角为45°．
（2）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}B}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
（3）∵A₁D₁⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴A₁D₁⊥AB₁，
∵四边形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，又A₁D₁?平面A₁BD₁，A₁B?平面A₁BD₁，A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BD₁，∵BD₁?平面A₁BD₁，
∴AB₁⊥BD₁，
同理可证：B₁C⊥BD₁，
又AB₁?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，AB₁∩B₁C=B₁，
∴BD₁⊥面AB₁C．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．