Question

16．（1）已知$\frac{1}{1-i}+\frac{1}{2+3i}=x+yi$，求实数x，y的值；
（2）已知z₁，z₂∈C，若z₁=3+4i，|z₂|=5，z₁•z₂是纯虚数，求z₂．

Answer 1

分析 （1）化简$\frac{1}{1-i}+\frac{1}{2+3i}=x+yi$，利用复数相等，求出x、y的值；
（2）设z₂=a+bi，a、b∈R，根据题意列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{+b}^{2}=25}\\{3a-4b=0}\\{4a+3b≠0}\end{array}\right.$，求出a、b的值．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1-i}+\frac{1}{2+3i}=x+yi$，
∴$\frac{1}{2}$（1+i）+$\frac{1}{13}$（2-3i）=x+yi，
整理，得$\frac{17}{26}$+$\frac{7}{26}$i=xi+yi，
∴x=$\frac{17}{26}$，y=$\frac{7}{26}$；…（6分）
（2）设z₂=a+bi，a、b∈R，
∴z₁z₂=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i，…（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{+b}^{2}=25}\\{3a-4b=0}\\{4a+3b≠0}\end{array}\right.$，…（10分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴z₂=4+3i或z₂=-4-3i．  …（14分）

点评 本题考查了复数的代数运算问题，也考查了学生的计算能力的应用问题，是基础题目．