Question

13．设向量$\overrightarrow a=（sinx，\frac{{\sqrt{3}}}{2}（sinx-cosx））$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx+cosx）$，x∈R，记函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若$f（A）=\frac{1}{2}$，$a=\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可求sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+$\sqrt{2}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sinx-cosx）（sinx+cosx）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），…3分
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z…5分
（2）∵$f（A）=\frac{1}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，…7分
∵在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：2=b²+c²-$\sqrt{2}$bc≥（2-$\sqrt{2}$）bc，（当且仅当b=c时等号成立）
∴bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
又∵sinA=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2+$\sqrt{2}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，（当且仅当b=c时等号成立）
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$…12分

点评 本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．