Question

9．已知$\frac{3-a}{4}$和4的等比中项为$\sqrt{2}$b，且a＞1，则$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先根据等比中项得到a与b的关系，再构造函数，从而求导判断函数的单调性，从而求出最值．

解答 解：∵$\frac{3-a}{4}$和4的等比中项为$\sqrt{2}$b，
∴2b²=3-a，
∴$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{2}{3-a}$，
设f（x）=$\frac{2}{x-1}$-$\frac{2}{x-3}$，x＞1，
∴f′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$+$\frac{2}{（x-3）^{2}}$=$\frac{8（x-2）}{（x-1）^{2}（x-3）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=2，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当2＜x＜3或x＞3时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{2}{2-1}$-$\frac{2}{2-3}$=4，
故$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值为4，
故选：A

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想的应用及整体思想的应用，属于中档题．