Question

已知函数f（x）满足对于?x∈R，均有f（x）+2f（-x）=a^x+2（

1

a

）^x+xlna（a＞1成立．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的最小值．
（3）证明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）解方程组直接求出f（x）；（2）利用导数求出单调区间，从而求出最值；（3）问较为麻烦，用到了（2）中的结论，特殊值法以及等比数列的求和等．

解答： 解：（1）由题意得：

f(x)+2f(-x)=ax+2( 1 a )x+xlna f(-x)+2f(x)=( 1 a )x+2ax-xlna

，
 解之得：f（x）=a^x-xlna
（2）∵f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当x＞0时：f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；
当x＜0时：f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0）上递减；
∴f（x）_min=f （0）=1．
（3）由（2）得：a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，则e^x≥x+1，
在e^x≥x+1中，令x=-

k

n

（k=1，2，…n-1）
∴1-

k

n

≤e-

k

n

∴(1-

k

n

)n≤e-k
∴（1-

1

n

）ⁿ≤e^-1    （1-

2

n

）ⁿ≤e^-2…（1-

n-1

n

）ⁿ≤e^-（n-1），（

n

n

）ⁿ=1
∴（

n

n

）ⁿ+（

n-1

n

）ⁿ+（

n-2

n

）ⁿ+…+（

1

n

）ⁿ≤1+e^-1+e^-2+…+e^-（n-1）
=

1-( 1 e )n

1- 1 e

=

e[1-( 1 e )n]

e-1

＜

e

e-1

．

点评：本题是一道关于导数的综合应用题，前两问是求解析式和单调区间，相对容易；第三问难度较大．