Question

10．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=$\sqrt{6}$，
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD；
（3）求平面PBC与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点M，连结FM，EM，推导出四边形AEMF是平行四边形，从而EM∥AF，由此能证明AF∥平面PCE．
（2）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明AF⊥平面PCD．
（3）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，∠PBA是平面PBC与平面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出平面PBC与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取PC中点M，连结FM，EM，
则FM是△DPC的中位线，∴FM∥=$\frac{1}{2}CD$
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥=CD，
∵E是AB中点，∴FM∥=$\frac{1}{2}AB$，
∴四边形AEMF是平行四边形，∴EM∥AF，
∵AF?平面AFM，EM?平面AFM，
∴AF∥平面PCE．（4分）
解：（2）∵PA=AD，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
又AF?平面PAD，∴AF⊥CD，
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．（9分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA是平面PBC与平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵$tan∠PBA=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴cos$∠PBA=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴平面PBC与平面ABCD所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．（14分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．