Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an+1

an+1-an

=

an-1

an-an-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

2

a_na_n+2，记数列{b_n}的前n项和为S_n，试求使S_n＜m-

1

2

恒成立的m的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由

an+1

an+1-an

=

an-1

an-an-1

（n≥2）变形为

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=

1

2

a_na_n+2=

1

n

-

1

n+2

．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答： 解：（I）由

an+1

an+1-an

=

an-1

an-an-1

（n≥2）．化为

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

．
∴数列{

1

an

}是等差数列，

1

a1

=

1

2

，公差的=

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

．
∴

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

．
∴a_n=

2

n

．
（II）b_n=

1

2

a_na_n+2=

1

2

×

2

n

×

2

n+2

=

1

n

-

1

n+2

．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

≤1+

1

2

-

1

2

-

1

3

=

2

3

．
∵S_n≤m-

1

2

恒成立，
∴

2

3

≤m-

1

2

，
化为m≥

7

6

．
∴m的最小值是

7

6

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．