(12分)如图,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,
若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只
有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E—BC—A正切值的大小。
若以BC为直径的球面与线段PD有交点E,由于点E与BC确定的平面与球的截
面是一个大圆,则必有BE⊥CE,因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O(即球心),再取AD的中点M,易知OM⊥平面PAD,作ME⊥PD交PD于点E,连结OE,则OE⊥PD,所以OE即为点O到直线PD的距离,又因为OD>OC,OP>OA>OB,点P,D在球O外,所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点,只要使OE≤OC(设OC=OB=R)即可。
由于△DEM∽△DAP,可求得ME= ,
所以OE2="9+" 令OE2≤R2,即9+ ≤R2,解之得R≥2;
所以AD=2R≥4,所以AD的取值范围[ 4,+∞,
当且仅当AD= 4时,点E在线段PD上惟一存在,此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
解析
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,在中,是上的高,沿把折起,使 。
(Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC;
(Ⅱ)设E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,DB//AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点。
(1)求证:EF⊥平面BCD;
(2)求多面体ABCDE的体积;
(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)(理)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC
⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点。
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:单选题
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为( )
A. | B. | C.2 | D. |
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