Question

7．在极坐标系中，点 P的极坐标是$（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$，曲线 C的极坐标方程为$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{3}}）$．以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线 l经过点P．
（1）写出直线 l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；
（2）若直线 l和曲线C相交于两点A，B，求$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}+\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程，求出点P的直角坐标为$（{0，\sqrt{3}}）$，直线l的倾斜角为135°，由此能求出直线l的参数方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数）代入${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，设A，B对应参数分别为t₁t₂，根据直线参数方程t的几何意义，能求出结果．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{3}}）$可得$ρ=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，
即${ρ^2}=2ρcosθ+2\sqrt{3}ρsinθ$，
因此曲线C的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$，
即${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，点P的直角坐标为$（{0，\sqrt{3}}）$，
直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数）．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数）代入${（{x-1}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=4$，
得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，设A，B对应参数分别为t₁t₂，
有${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-3$，根据直线参数方程 t的几何意义，得：
$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}+\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}=\frac{{{{|{PA}|}^2}+{{|{PB}|}^2}}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{{t_1}^2+{t_2}^2}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-2{t_1}{t_2}}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．