Question

【题目】已知函数.

（1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值；

（2）若，且在上恒成立，求a的取值范围；

（3）令，且在区间上有零点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）且 （3）

【解析】

(1) 设切点，求出在点A处的切线，因为是的一条切线，对应值相等即可得解；(2)令，求导数，分和讨论导数的符号从而判断函数的单调性，证明不等式对恒成立；(3) 求出的表达式，并设在上的一个零点为，由解得，则，令利用的导数求出的最小值即可得解.

解：（1）当时，，

设切点，则在点A处的切线为，

化简得，

因为是的一条切线，

，，解得；

（2）当时，令，

则.

若，则当时，恒成立，在上单调递增，

，即符合题意；

若时，由，得，

当时，，在上单调递减，

，与已知在上恒成立矛盾，舍去.

综上，且 .

（3）法一：.

若，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，

因为在区间上有零点，

所以，

解得.

所以，

当时，等号成立，此时.

若时，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

因为在区间上有零点

所以，

所以，

所以，

令，

则，所以在（2）上单调递减.

所以.

若，则在区间上恒成立，在区间上单调递减.

因为叫在区间上有零点，

所以，

解得.

所以，

当时，等号成立，此时；

综上，的最小值是.

法二：，

设在上的一个零点为，

则，

，当时等号成立，

令，则，

因为，则，

即，所以的区间上单调递减，

所以的最小值为，

故的最小值为.