Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+4，且x=2是函数f（x）的一个极小值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数极值的定义得f'（2）=0，利用导数法求得即可；
（2）利用导数判断函数的单调性并由函数的增减性求得函数的最值．

解答： （本小题满分11分）
解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax．…（2分）∵x=2是函数f（x）的一个极小值点，∴f'（2）=0．
即4-4a=0，解得a=1．…（4分）
经检验，当a=1时，x=2是函数f（x）的一个极小值点．∴实数a的值为1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1

3

x3-x2+4．f'（x）=x²-2x=x（x-2）．
令f'（x）=0，得x=0或x=2．…（6分）
当x在[-1，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↗	4	↘	8 3	↗	4

…（9分）
当x=-1或x=2时，f（x）有最小值

8

3

；
当x=0或x=3时，f（x）有最大值4．…（11分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，属常规题目，中档题．