Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3

2

，sinB=cosA=

6

3

，B为钝角．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求cosC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（I）利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
（II）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：（I）在△ABC中，
∵cosA=

6

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

得a=

bsinA

sinB

=

3 2 × 3 3

6 3

=3．
（II）∵B为钝角，
∴cosB=-

1-sin2B

=-

1-( 6 3 )2

=-

3

3

，
由（I）可知，sinA=

3

3

，又sinB=cosA=

6

3

，
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）

=-cosAcosB+sinAsinB =- 6 3 ×(- 3 3 )+ 3 3 × 6 3 = 2 2 3 .

点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．