Question

【题目】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，其离心率椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）求出抛物线的焦点坐标可得出，再结合离心率求出的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出、两点的坐标，验证是否成立；在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，并设点、，将直线与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算得出关于的方程，解出即可.

（1）由抛物线的焦点为，则知，

又结合，，解得，故椭圆方程为；

（2）若直线不存在，可得，，不满足；

故直线斜率必然存在，由椭圆右焦点，可设直线为，

记直线与椭圆的交点、，

由，消去整理得到.

由题意可知恒成立，且有，.

那么

则，解得.

因此，直线的方程为.