Question

如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

(1)求证：GF平面ADE                                               

(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

 

Answer 1

解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，

又G是BE的中点，

，

又F是CD中点，，

由四边形ABCD是矩形得，，

所以.

从而四边形HGFD是平行四边形，，

又，所以.

(2)如图，在平面BEG内，过点B作,因为

又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向

建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)

因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，

设为平面AEF的法向量.又

由取得.

从而

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.

解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG，MF，

又G是BE的中点，可知GMAE，

又，

所以GM平面ADE.

在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦＡＤ．

又，所以．

又因为，

所以平面ＡＤＥ，

因为，所以

（２）同解法一．